Función doble

En esta representación llevada a cabo con el progarama Geogebra podemos observar una función modelo (f(x)) y junto a ella la función correspondiente a su derivada pudiendo de esta manera observar los puntos de corte que se dan entre ambas, los puntos de corte con los ejes, los puntos notables (tanto máximos como mínimos), etc...

Función de logarítmo neperiano

Es una función logarítmica con las siguientes características:

• Dominio: (0, +inf.) dado que es un logarítmo y estos nunca pueden ser menosres que cero
• Imagen: R
• Monotonía: decreciente (-inf., 2] y creciente [3, +inf.)
• Extremos relativos o absolutos: carece de ambos
• Asíntotas: no presenta asíntotas horizontales pero si dos verticales en x=2 y x=3

Recta tangente a una curva

Dada una función f(x) = y, y un punto x= a, calculamos la ecuación de la recta tangente con su
pendiente, los máximos y mínimos relativos de la función principal sobre la que se basa el ejercicio y su gráfica dóne se observe el punto donde cortan ambas rectas.

• Ecuación de la recta tangente: y= -3x+3
• Máximos y mínimos: existe un mínimo relativo en el punto (2,-2) y un máximo relativo en el punto (0,2), además en esos puntos la derivada es 0
  
• Punto de corte: A(1,0)
  
• Pendiente: m= -3
  

Recta tangente y secante

Función exponencial

• Dominio:R
• Imagen:(0,+inf)
  
• Monotonía: creciente en todo su dominio
  
• Extremos relativos: no presenta extremos relativos
  
• Asíntotas: presenta una asíntota horizontal en y=0
  
• Discontinuidad: es continua en todo su dominio de definición
  
• Periodicidad: no presenta esta propiedad
  
• Simetría: no existe ningun tipo de simetría
  

Función inversa

• Dominio: R
• Imagen: R
• Monotonía: es creciente en todo su dominio
• Extremos relativos: no existen dentro de la función
• Asíntotas: esta función no las presenta
• Periodicidad: no existen en esta función
• Simetría: esta función inversa no presenta ninún tipo de simetría
  

Función radical

• Dominio: (4, + inf.)
• Imagen: (0, + inf.)
• Monotonía: es creciente en todo su dominio
• Extremos relativos: no existen en esta función
• Asíntotas: no existen en esta función
• Discontinuidad: no se presenta en esta función
• Periodicidad: no se repiten intervalos en esta función
• Simetría: no existe de ningún tipo
  

OPERACIONES CON FUNCIONES

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

(f.g)(x) = f(x).g(x)

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

(a.f)(x) = a.f(x)

Composición de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las

funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f)(x) = g[ f(x)] .

La función (g o f)(x) se lee « f compuesto con g aplicado a x ».

R

f -- ®

R

g -- ®

R

x ® f(x) ® g.[f(x)]

Primero actúa la función f y después actúa la función g, sobre f(x).

Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta

Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, se siguen estos pasos:

1. Se calcula la imagen de x mediante la función f, f(x).

2. Se calcula la imagen mediante la función g, de f(x). Es decir, se aplica la función g al resultado obtenido anteriormente.

Función polinómica

• Dominio: R
• Imagen: R
• Monotonía: es creciente en todo su dominio
• Extremos relativos:este tipo de funciones no presentan extremos relativos
  
• Asíntotas: no presenta ningun tipo de asíntotas ya que se extiende hasta el infinito
  
• Discontinuidades: es continua en todo su dominio de definición
  
• Periodicidad: no se observa en esta función
• Simetría:
  

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

• DEFINICIÓN DE FUNCIÓN: una función es la relación entre dos variables numéricas x (variable independiente) ; y (variable dependiente).

• DOMINIO: es el conjunto de valores de la variable independiente para los que existe la función.

• IMAGEN: es el conjunto de valores de la variable dependiente que tienen algún valor en la variable independiente que se transforma en él por la función.

• MONOTONÍA: son los intervalos de la función donde es creciente o decreciente.

• EXTREMOS RELATIVOS: son aquellos puntos en los que la gráfica tiene su punto más bajo o alto (mínimo relativo o máximo relativo).

• EXTREMOS ABSOLUTOS: son aquellos valores mayores o menores de toda la función (máximo absoluto o mínimo absoluto).

• ASÍNTOTAS: existen 3 tipos de asíntotas: horizontales, verticales y oblícuas. Su propiedad fundamental es que la función se acerca cada vez más a la asíntota, pero nunca llega a tocarla.

• CONTINUIDAD Y DISCONTINUIDAD: la discontinuidad son los números o valores donde la función "pega un salto" hacia arriba o hacia abajo; mientras que la continuidad se produce cuando no hay "saltos" en el recorrido de la función.

• SIMETRÍA: hay dos tipos de simetrías:

-Simetría par: con respecto al eje y f(x) = f(-x)

-Simetría impar: con respecto al origen de coordenadas f(x) = -f(-x)

• PERIODICIDAD: son los intervalos de la función a partir de la cual ésta se repite.

Parábola

Representa gráficamente la siguiente parábola y cita todas sus propiedades:

f(x)= x^2 + 2

• Dominio: R
• Imagen: [2, +inf)
• Monotonía: es decreciente: (-inf, 0) / es creciente: (0, +inf)
• Extremos relativos: existe un mínimo relativo y absoluto: (0,2) / no hay máximos relativos ni absolutos.
• Asíntotas o tendencia: las parábolas nunca presentan asíntotas
• Simetría: presenta una simetría respecto al eje Y, es decir, es una función par en la que f(x) = -f(x)
  

Función lineal

Representa graficamente la siguiente función lineal y cita todas sus propiedades:

f(x) = x - 2

• Dominio: R
• Imagen: R
• Monotonía: creciente en todo su dominio
• Extremos relativos: no existen máximos ni mínimos relativos ni absolutos
• Asíntotas: no existen
• Continuidad y discontinuidad: es contínua en todo su dominio
• Periodicidad: no existe
• Simetría: no existe
  

Función exponencial natural impar

Realizar la representación y el análisis de las propiedades de la siguiente función:

f(x) = x^4 - 6

• Dominio: R
• Imagen: R
• Monotonía: es decreciente de (-inf , 0) y es creciente de (0, +inf)
• Extremos relativos: existe un minimos absoluto en el punto (0, -6)
• Asíntotas o tendencia : las parábolas nunca presentan asíntotas
• Periodicidad: no presenta esta característica
• Simetría: la función presenta una simetría con respecto al eje Y, es decir es una función par
  

Presentación

En este blog dedicado a la asignatura de matemáticas vamos a exponer, explicar y hacer diferentes tipos de ejercicios relacionados con esta asignatura y dentro de los campos de la geometría como las funciones.

Irene Santos y Ainhoa Manero